Можно ли принять на работу врача-ординатора, окончившего 1 год обучения?

Не можете, так как утверждён ограниченный перечень должностей среднего медперсонала, к осуществлению деятельности на которых могут быть допущены лица с (не)оконченным высшим медицинским образованием. «Медицинская сестра по косметологии» в этом перечне отсутствует. Это - первый момент.

Второй - допуск к профессиональной деятельности не происходит автоматически в связи с наличием оконченного высшего (как в вашем примере) или неоконченного высшего (в определённом объёме курсов). Чтобы быть допущенным к деятельности в качестве среднего медперсонала, лицу с высшим образованием, оконченным или нет, необходимо сдать специальный экзамен на допуск к осуществлению деятельности в должности среднего медицинского персонала.
Если Вы возьмёте ординатора на позицию м/с по косметологии, это будет нарушением лицензионных требований в виде допуска к осуществлению деятельности лица, не соответствующего квалификационным требованиям и не имеющего сертификата специалиста/свидетельства об аккредитации по указанной специальности.